Одновинтовые машины, используемые в качестве насосов и винтовых забойных двигателей (ВЗД), представляющие собой гидравлическую машину объемного типа, получают все большее распространение в различных технологиях механизированной добычи, бурения и ремонта нефтяных и газовых скважин [1, 2].
Рабочим органом одновинтовой гидромашины является винтовой героторный механизм (ВГМ) – косозубая пара внутреннего пространственного циклоидального зацепления, состоящая из z2 – заходного металлического ротора (винта) и z1 – заходного статора (обоймы) с эластичной обкладкой, между винтовыми поверхностями которых образуются рабочие камеры (шлюзы).
Площади камер рабочих органов как одни из основных геометрических параметров ВГМ определяют рабочий объем гидромашины и скорость жидкости внутри рабочих органов. Хотя параметрические уравнения торцовых профилей статора и ротора ВГМ и их кривизна имеют точное математическое описание, расчет площадей отдельных камер и суммарной площади живого сечения невозможно в общем случае провести аналитическим методом. На сегодня существуют приближенные выражения для определения площади живого сечения, но точное исследование изменения текущей площади сечения отдельной камеры (от нуля до максимума) еще не проведено. Численный метод является идеальным средством, с помощью которого возможно преодолеть этот пробел в теории циклоидального зацепления.
ОБРАЗОВАНИЕ ИСХОДНОГО И СОПРЯЖЕННОГО ПРОФИЛей
Торцовый профиль рабочих органов одновинтовых гидромашин в общем случае образуется как внутренняя огибающая исходного контура циклоидальной рейки 3 (эквидистанты смещенной циклоиды 1), связанного с инструментальной прямой 4, при ее обкатке по основной окружности 5 [1, 3] (рис. 1).
При профилировании ВГМ используются только укороченные (e<r) циклоиды. Удлиненные (e>r) и обыкновенные (e=r) циклоиды не используются из-за заострений и самопересечений [1, 4].
Параметрические уравнения огибающей семейства рейки, т.е. уравнения исходного торцового профиля в общем случае приобретают вид [1]:
где φр – угол поворота рейки относительно центра основной окружности 5 (φр = 0…2π);
u ̅ – коэффициент типа профиля: u ̅ =1 при образовании эпициклоидального профиля, u ̅ =-1 при образовании гипоциклоидального профиля;
z1 – число зубьев (заходов) исходного профиля;
∆x1 – смещение рейки (положительное или отрицательное); 
rц – радиус эквидистанты;
ψ – угловой параметр циклоиды (относительный угол поворота катящейся окружности 6 при образовании циклоиды 1), ψ = 0…2π.
Для идеального профиля без смещения параметрические уравнения (1) упрощаются к виду:
где τ – угловой параметр профиля, τ = ψ/z1 .
Т.е. в общем случае угловое смещение Δ1 характеризует отличие между углом поворота рейки φр и угловым параметром профиля τ:
Вид исходного циклоидального профиля определяется сочетанием трех геометрических коэффициентов: внецентроидности c0=r/e; формы зуба ce=rц/e; смещения c∆=∆x1/e.
Сопряженный торцовый профиль образуется как огибающая исходного профиля (рис. 2) при обкатке начальных окружностей (центроид) профилей, радиусы которых пропорциональны числам заходов и эксцентриситету (ez1, ez2). В гипоциклоидальном зацеплении сопряженный профиль является внутренним элементом (z2=z1-1), в эпициклоидальном зацеплении – наружным элементом (z2=z1+1).
Параметрические уравнения сопряженного профиля в общем случае описываются аналитическими методами на основе теории огибающих. В частном случае идеального профиля без смещения (cΔ = 0) параметрические уравнения сопряженного профиля упрощаются и относятся к двум различным участкам профиля (на впадинах и выступах зубьев), точка сопряжения которых (с угловым параметром τn) имеет нормаль, расположенную по касательной к центроиде.
ТОЧКИ КАСАНИЯ ПРОФИЛЕЙ
При известных координатах исходного (x, y) и сопряженного (x*, y*) профилей (статора и ротора) посредством метода преобразования координат можно получить относительные положения профилей в любой фазе планетарного движения ротора для ВГМ с различным кинематическим отношением i=z2:z1 [1, 5].
В каждой фазе зацепления живое сечение разделяется на z1 или z2 отдельных камер (по точкам касания между ротором и статором), площадь которых изменяется во времени. Число точек касания, нормаль которых проходит через полюс, складывается из выступов зубьев ротора, которые поворачиваются по часовой стрелке, и точки касания впадины одного зуба ротора, совершающей движение против часовой стрелки. При вращении ротора за один цикл (φ=2π/z2) площади отдельных камер изменяются от нуля (в первом характерном сечении, когда выступ одного из зубьев ротора полностью входит во впадину статора, рис. 3а) до максимума (в первом (для четных z1) или во втором (для нечетных z1) характерном сечении, когда в полный контакт вступают выступ статора и впадина зуба ротора, рис. 3б), а затем сокращаются до нуля.
Точки касания циклоидальных профилей в соответствии с уравнением связи угловых параметров точек касания τi и угла поворота ротора φ сдвинуты по фазе на угол Δτ =2π/z2 [1].
ПЛОЩАДИ ОТДЕЛЬНЫХ КАМЕР
Площадь живого сечения S складывается из площадей отдельных камер Si, принадлежащих различным винтовым каналам рабочих органов:
где j=z2 в первом характерном сечении, j=z1 во втором характерном сечении.
Площадь отдельной камеры представляет собой разность площадей секторов профилей статора и ротора, расположенных между точками с угловыми параметрами τi+1 и τi с шагом βi = var ≈ 2π/z2 относительно центра координат О1 (рис. 4):
где элементарные площади статора dSст и ротора dSр определяются по текущим координатам их профилей.
В разработанной методике элементарные площади секторов (треугольников) статора и ротора (рис. 4) определяются на основе векторного произведения двух векторов, расположенных под углом Δβ:
Число расчетных циклов iц=iкон –1 пpи определении площади Si зависит от шага изменения углового параметра τ в уравнениях сопряженных профилей статора и ротора.
Суммируя, в результате получаем
Пример расчета площадей всех камер в первом характерном сечении ВГМ с кинематическим отношением 5:6 с параметрами профиля u ̅=-1; c0=1,175; ce=2; c∆=0;
r=12 мм представлен в табл. 1.
Из табл. 1 видно распределение площадей отдельных камер ВГМ с гипоциклоидальным зацеплением. Максимальная площадь камеры (S3 в рассматриваемом примере) всегда находится на дальнем расстоянии от полюса P, остальные камеры располагаются симметрично оси абсцисс, и их соответствующие площади равны между собой (S1 = S5 и т.д.).
В процессе вращения ротора в данном поперечном сечении каждая камера достигает своего максимального размера Smax. Для теории рабочего процесса и некоторых расчетов ВГМ представляют интерес вопросы: какую часть в общей площади живого сечения занимает площадь максимальной камеры и какое влияние на этот баланс оказывают кинематическое отношение и геометрические параметры профиля?
Площадь живого сечения S, представляющая собой сумму площадей отдельных камер, не зависит от относительного положения профилей ротора и статора, что предопределяет постоянство идеальной подачи винтового насоса и равномерность вращения вала ВЗД.
ВЛИЯНИЕ БЕЗРАЗМЕРНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
Коэффициент внецентроидности. Исследование влияния коэффициента внецентроидности c0 (рис. 5) на изменение площади камер показывает, что по мере увеличения коэффициента c0 связи между выступами и впадинами профиля становятся более мягкими, а площади всех отдельных камер (S1, S2, S3) снижаются (рис. 6), причем самая большая камера имеет наибольшие изменения.
Профили, построенные на рис. 5 при постоянстве радиуса производящей окружности r и увеличении коэффициента внецентроидности c0 (от 1,1 до бесконечности), характеризуются снижением эксцентриситета зацепления e, что в итоге приводит к уменьшению контурного диаметра и площади камер рабочих органов. 
Для качественной оценки общей полезной площади рабочих камер можно предложить коэффициент относительной площади живого сечения ks, в котором числитель представляет площадь живого сечения, а знаменатель – полную площадь исходного профиля статора:
Для оценки доли камеры максимальной площади внутри живого сечения целесообразно использовать коэффициент kmax:
При увеличении коэффициента внецентроидности c0 площадь каждой отдельной камеры и коэффициент относительной площади живого сечения снижаются (примерно на 5 % при увеличении c0 от 1,1 до 1,6), что приводит к уменьшению рабочего объема, увеличению частоты вращения ВГМ и тем самым оказывает влияние на эффективность его применения в качестве насоса или гидродвигателя. При этом баланс максимальной площади камеры остается практически на постоянном уровне, составляя для данного кинематического отношения ВГМ и се=2 примерно 35,5 % от площади живого сечения (рис. 7).
Коэффициент формы зуба. При исследовании коэффициент се изменялся от 0,5 до 2,5 с шагом 0,5, что оказало существенное влияние на форму исходного и сопряженного профиля (рис. 8) и площадь рабочих камер. По мере повышения коэффициента формы зуба се выступы ротора и впадины статора становятся более гладкими, а площади камер увеличиваются (рис. 9), при этом изменение коэффициента полезной площади живого сечения kS составляет 7 %, а коэффициент kmax снижается незначительно (рис. 10).
ВЛИЯНИЕ УГЛА ПОВОРОТА РОТОРА
При повороте ротора распределение текущих площадей камер в рассматриваемом сечении соответствует изменению относительного положения профилей при изменении осевой координаты ВГМ в определенный момент времени. Данная плоско-пространственная аналогия ВГМ представлена на рис. 11, где изображены фазы изменения площади отдельной камеры сечения при повороте ротора на интервале, соответствующем циклу зацепления (φ=2π/z2).
С учетом закономерности распределения площади живого сечения по отдельным камерам (рис. 6, 7) зависимость текущей площади камеры (шлюза) Sш от угла поворота ротора φ (аналогом которого является угол поворота винтовой поверхности статора φ1=z2φ, а множитель z2 характеризует кратность действия ВГМ) в первом приближении можно представить в гармоническом виде
где Smах – максимальная площадь сечения шлюза (φ=π/z2),
Вычисления по формуле (8), представленные ниже для рассматриваемого механизма (i=5:6), подтверждают, что такой подход может быть использован при ориентировочных расчетах ВГМ (табл. 2).
ВЫВОДЫ
1. Представленная методика и программа численного расчета площадей отдельных камер поперечного сечения рабочих органов одновинтовой гидромашины обеспечивает возможность уточненного анализа геометрических и кинематических параметров циклоидального зацепления.
2. Исследование распределения площадей отдельных камер в общей площади живого сечения для различных фаз относительного положения ротора в статоре может быть использовано при гидравлических расчетах ВГМ.
3. Исследование влияния безразмерных коэффициентов профиля на площадь отдельных рабочих камер может быть использовано для оптимизации геометрических параметров рабочих органов при проектировании одновинтовых насосов и двигателей.
