Изучение свойств вязко-пластичных жидкостей и законов их течения началось с момента появления работы Э. Бингама «Текучесть и пластичность», опубликованной в 1922 г., после издания в 1919 г. материалов по исследованию течения масляной краски. На основе экспериментальных данных Э. Бингам предложил уравнение, представляющее собой общий закон трения для вязко-пластичной жидкости:
Следует отметить, что первый член правой части уравнения (1) был назван Э. Бингамом «пределом текучести». В отечественной литературе он именуется по-разному. Р.И. Шищенко называет его «предельным напряжением сдвига», «началом текучести», «статическим напряжением сдвига». В работах Н.В. Тябина он называется «предельным напряжением сдвига», у А.Д. Альтшуля и П.Г. Киселева – «начальным напряжением сдвига» и т.д.
Нет также единой терминологии для обозначения пластической вязкости η. В отечественной литературе ее обычно называют «структурной вязкостью», в зарубежной – «пластической вязкостью».
Уравнение (1) может быть выведено как частный случай общей зависимости, предложенной Ф.И. Шведовым в 1889 г. В связи с этим уравнение (1) принято называть законом Шведова–Бингама. Это уравнение было использовано для теоретических выводов Э. Букингамом, предложившим в 1921 г. формулу для расчета расхода вязко-пластичной жидкости в области пластического режима течения, подобную формуле Пуазейля для ламинарного течения вязкой жидкости. Аналогичное уравнение, независимо от него, было получено в 1926 г. М. Рейнером, однако в отечественной литературе пользуются термином «формула Букингама».
Уравнение Букингама имеет вид:
Уравнение (2) можно также получить, исходя из общих уравнений движения вязко-пластичных сред, предложенных Г. Генки, а также А.А. Ильюшиным в 1940 г. Они обобщили гипотезу Шведова–Бингама, предложенную для чистого сдвига.
Режим течения, описываемый уравнением (2), наблюдался в экспериментальных исследованиях многих авторов с различными средами, в том числе с глинистыми растворами.
Равновесие шара в вязко-пластичной жидкости впервые исследовалось Р.И. Шищенко, Б.Д. Баклановым, К.А. Царевичем и А.И. Малышевым.
Решениям задач неустановившегося течения вязко-пластичных жидкостей посвящены работы многих исследователей. Одним из важнейших вопросов неустановившегося движения является движение жидкости в кругло-цилиндрических трубах. По этому вопросу известны исследования Н.В. Тябина и А.Х. Мирзаджанзаде. Решены также задачи более частного характера, связанные с неустановившимся движением вязко-пластичной жидкости в плоских трубах, с неустановившимся круговым движением в цилиндрических трубах, с круговым неустановившимся движением между соосными цилиндрами и др. (А.А. Аббасов, С.Г. Гурджинян, А.Х. Мирзаджанзаде). Все решения, полученные теоретическим путем для случаев неустановившегося течения, более сложные, чем аналогичные решения для ньютоновских жидкостей, и поэтому являются малопригодными для инженерных расчетов.
Чрезвычайно важное значение для практики имеет движение жидкости в кругло-цилиндрических трубопроводах. При этом для выяснения гидравлической характеристики циркуляционной системы бурящейся скважины требуется знание величины давления, расходуемой на сопротивления и зависящей от физических свойств данной жидкости, с одной стороны, и характера ее движения – с другой. Таким образом, основным и главным вопросом инженерных расчетов является исследование гидравлических сопротивлений при течении вязко-пластичных жидкостей по трубам. Для проведения этих расчетов требуется также изучение основных реологических параметров, а также четкое разграничение возможных режимов течения.
Теперь о работах авторов, экспериментировавших с глинистыми растворами, а также рассмотрим некоторые исследования, давшие начало дальнейшему углубленному изучению теории вязко-пластичных жидкостей.
В 1932 г. Б.Д. Бакланов и Р.И. Шищенко проводили работы по изучению течения глинистых растворов. Предложенная ими формула для расчета потерь напора включала в себя коэффициент, зависящий от условной вязкости по СПВ-3. В том же году была опубликована работа Х.Н. Геррика, предложившего на основании обработки данных проведенных исследований формулу для расчета глинопроводов. В этой формуле уже учитывалось влияние объемного веса жидкости, однако основные реологические параметры – динамическое напряжение сдвига и вязкость – не фигурировали.
В 1934 г. К.А. Царевич и А.И. Малышев, обработав результаты исследований Р.И. Шищенко и Б.Д. Бакланова, видоизменили формулу Геррика, введя в нее динамическое напряжение сдвига. В 1946 г. была опубликована статья И.Г. Есьмана, Р.И. Шищенко, С.М. Кулиева и И.С. Агаларова, в которой предложена новая формула, позволяющая одновременно учитывать объемный вес и касательные напряжения. Она была получена на основании анализа результатов расчетов по другим, так называемым, двучленным формулам. Перечисленные формулы относятся к формулам двучленного типа, по которым вычисления потерь напора громоздкие. Начались поиски более простых решений.
Так, В.П. Гайдуков в результате сравнения формул Р.И. Шищенко и Б.Д. Бакланова, Х.Н. Геррика и К.А. Царевича вывел одночленную формулу, учитывающую условную вязкость раствора по СПВ-3. Известна также эмпирическая формула Г.И. Гевиняна для определения потерь напора. Она обладает теми же недостатками, что и другие предшествующие формулы: 1) во все формулы входят соответствующие коэффициенты, определяемые из опыта и зависящие, в основном, от объемного веса жидкости или вязкости; 2) каждая формула применима только для определенного интервала скоростей, диаметра труб и некоторого диапазона изменения объемного веса, следовательно, область применения их ограничивается только теми режимами, для которых определены расчетные формулы; 3) формулы не учитывают изменения режимов течения и характера зависимости потерь давления от расхода вязко-пластичной жидкости; 4) формулы, в которых в качестве определяющего параметра выбрана условная вязкость, не отражают физико-механических свойств жидкости и ограничены пластическим режимом, при котором они получены.
В связи с этим наметилась тенденция к использованию для расчетов формулы Дарси–Вейсбаха, в результате чего задача сводилась к определению коэффициента гидравлических сопротивлений λ в зависимости от режима течения.
Первый шаг в этом направлении был сделан И.Ф. Пономаревым, который преобразовал формулу Геррика в формулу Дарси–Вейсбаха, введя двучленную зависимость коэффициента от диаметра трубы и скорости течения. Однако это не устранило основного недостатка предшествующих формул, так как остались коэффициенты, зависящие от объемного веса и напряжения сдвига раствора. Критерий пропорционален критерию Рейнольдса, определяемому по вязкости воды.
Л. Колдуэлл и Х. Бэббит опубликовали в 1941 г. результаты своих исследований по глинистым растворам, при которых измерялись вязкость и динамическое напряжение сдвига, а также гидравлические потери в трубах. Исследования в области пластического течения подтвердили справедливость уравнения Букингама. Ими было также отмечено, что переход к турбулентному режиму можно связать с критерием Рейнольдса, если в качестве вязкости принять кажущуюся, или эффективную, вязкость η′:
Изменение кажущейся вязкости в зависимости от градиента скорости:
может быть наглядно продемонстрировано данными (Н.П. Лещий), представленными в табл. Эти данные были получены на ротационном вискозиметре ПВР-1 для четырех типов пластичных растворов с различной концентрацией глины (η′ в (н · сек/м2); Д в 1/сек).
Понятие об эффективной вязкости было использовано указанными авторами для определения условий перехода к турбулентному режиму течения. Определение потерь напора при турбулентном режиме предполагалось рассчитывать по формуле Дарси–Вейсбаха, вычисляя λ в зависимости от критерия Рейнольдса, определенного по вязкости чистой дисперсной среды.
Как показали экспериментальные исследования, проведенные Р. Беком, В. Нассом и Т. Данном, расчеты по Д. Колдуэллу и Х. Бэббиту приводят к заниженным результатам. В связи с этим Р. Бэк, В. Насс, Т. Данн предложили при расчетах коэффициента гидравлических сопротивлений пользоваться графиком, дающим зависимость между λ и Re. Такие графики были предложены Р. Пиготтом, использовавшим данные В. Григори по течению глинистых растворов, а также Х. Амброуза и Л. Лумиса по течению суспензий. При определении числа Рейнольдса Р. Бек, Х. Насс и Т. Данн принимали эффективную вязкость η′ = 3,2η, где η – пластическая вязкость по вискозиметру Штормера.
Аналогично упомянутым авторам и другие исследователи шли по пути выражения эффективной вязкости через пластическую (структурную), принимая эту зависимость пропорциональной. Такой прием встречается, например, в работе Х. Ван-Ольфена, который принимает η′ = η, и в других работах. Дж. Парент предложил более сложную зависимость в виде η′ = avb, где а и b – коэффициенты, подлежащие определению в каждом конкретном случае.
Исследование течения глинистых растворов в гладких трубах при числах Рейнольдса порядка 105 позволило И. Хавенаару получить значения коэффициента гидравлических сопротивлений в пределах 0,023 – 0,027, что согласуется с результатами расчетов по формуле Блазиуса.
Наиболее правильной методикой расчета гидравлических потерь, на наш взгляд, следует считать методику, учитывающую свойства жидкостей и характер их течения.
Р.И. Шищенко и А.Х. Мирзаджанзаде путем введения в формулу Букингама параметра Re′ привели ее к виду известной формулы Дарси–Вейсбаха. При этом авторы пренебрегли третьим членом указанной формулы, а эффективную вязкость, входящую в параметр Re′, приняли равной:
Используя эту методику, авторы по экспериментальным данным Р.И. Шищенко и Б.Д. Бакланова построили графическую зависимость λ от Re′, по которой по известной величине Re′ для конкретного случая определяется λ.
Критерий Рейнольдса Re′, который дальше будем называть обобщенным критерием Рейнольдса, был предложен в различных модификациях в ряде работ.
В 1950 г. были опубликованы экспериментальные работы Р.И. Шищенко по результатам исследования течения глинистых растворов в трубах различных диаметров. Им предложены расчетные формулы для определения величины коэффициента гидравлических сопротивлений.
В области значений Recт от 1000 до 5000 среднее значение λ рекомендуется принимать равным 0,035. Однако, учитывая ряд неудобств при такой методике расчета, автор приходит к выводу, что более удобными для практических расчетов являются формулы (2), (8) и (9).
Впервые обширные исследования гидравлических потерь при перетекании глинистых растворов по круглым трубопроводам были опубликованы Б.С. Филатовым в 1954 г. Они охватили широкий диапазон изменения обобщенного критерия Рейнольдса, который принимался равным:
Исследования Б.С. Филатова подтвердили линейную зависимость потерь давления в области пластического режима течения и близкую к квадратичному закону – в области турбулентного режима течения. В то же время оказалось, что в области Re′ < 10 имеет место отклонение опытных данных от линейной зависимости, следовательно, в этой области, как будет показано в дальнейшем, критерий Re′ теряет смысл. Переход к турбулентному режиму изменялся в широких пределах от Re′ = 2800 до 4000, в зависимости от концентрации глинистой суспензии. Б.С. Филатов рекомендовал для практических расчетов в турбулентной области значения λ = 0,017 ÷ 0,025. Однако такое расхождение в величине λ может привести к существенным расхождениям в результатах подсчетов потерь давления. Автор отметил, что при большой концентрации твердой фазы в глинистом растворе возрастает критическое значение обобщенного критерия Рейнольдса Re′.
Экспериментальные исследования Б.И. Мительмана, которые проводились в циркуляционной системе буровой скважины, показали, что пластический режим течения имеет место при Re′ < 2000 ÷ 3000. В области чисел Re′ = 2000 ÷ 3000 наступает переход к турбулентному режиму, при котором коэффициент гидравлического сопротивления рекомендуется рассчитывать по формуле:
При пластическом режиме зависимость потерь напора от расхода можно считать линейной и отвечающей следующему соотношению между λ и Re′:
При обработке экспериментальных данных Б.И. Мительман принимал обобщенный критерий Рейнольдса Re′ по формуле (13).
Опубликованные в 1958 г. Р.И. Шищенко и К.А. Ибатуловым данные по исследованию течения утяжеленных глинистых растворов также подтвердили формулу (2) при пластическом течении. Для расчета коэффициента гидравлических сопротивлений в диапазоне чисел Re′ = 2300 ÷ 40 000 рекомендована формула:
а для квадратичного закона (при Re′ > 40 000) λ = 0,02 = const. Следует отметить, что Р.И. Шищенко и К.А. Ибатулов, а затем Чжу Мэ впервые отметили зависимость λ в переходной области от реологических параметров η и τо.
В 1959 г. А.И. Юфиным были опубликованы результаты экспериментов по исследованию течения глинистых растворов в трубах больших диаметров. Им предпринята попытка оценить влияние шероховатости внутренней поверхности труб на величину λ при турбулентном режиме течения.
Исследованиями ряда авторов было установлено, что для вязко-пластичных жидкостей критическое значение обобщенного критерия Рейнольдса может изменяться в широких пределах.
Опыты по исследованию глинистых растворов различных свойств были проведены в лабораториях МИНХ и ГП и опубликованы в 1962 г. Э.К. Латыповым и Б.С. Филатовым. Ими показано, что критическая скорость для одной и той же вязко-пластичной жидкости практически одинакова в трубах различного диаметра. Ими была разработана новая методика расчета потерь напора. Было предложено определять λ в турбулентном потоке в зависимости от обобщенного критерия Рейнольдса Re′ и его критического значения Re′кр, которое рассчитывается теоретически в зависимости от критерия Ильюшина и критической скорости Vкр. Однако при определении Vкр, в зависимости от величины И, по методике указанных авторов получается, что величина критической скорости при течении данной жидкости по данной трубе зависит от величины расхода, чего не должно быть. Замечания, касающиеся этого вопроса, подробно изложены в работе В.И. Липатова, Б.И. Мительмана и Г.Д. Розенберга, где приводится формула, теоретически полученная Б.И. Мительманом и Г.Д. Розенбергом для определения λ при пластическом течении жидкости в трубах круглого сечения. Также отмечается, что при турбулентном режиме λ может быть найдено только путем аппроксимации экспериментальных данных.
Исследования ряда зарубежных ученых шли по несколько иному пути. Конечной целью исследования ставилась разработка универсального метода расчета гидравлических потерь, пригодного для всех жидкостей в ламинарном режиме течения, независимо от того, являются они ньютоновскими или неньютоновскими. Дж. Олвис, Д. Бочер и Р. Пигфорд исходили из того, что у жидкостей, реологические свойства которых не зависят от времени (для цементных растворов пригодны на стадии затворения цемента), соотношение между функцией F(τс) = Q/πR3 (τс – напряжение трения на стенке; Q – расход жидкости) и напряжением трения на стенке одно и то же для разных диаметров труб. Имея такую зависимость, полученную с использованием результатов капиллярного вискозиметра, можно осуществить переход к натурным трубам. Однако эффективность этого метода ограничена его эмпирическим характером.
Теоретически более строгим методом является метод А. Метцнера и Дж. Рида. В основу его положено выражение для скорости сдвига на стенке трубы, имеющее вид:
Соответствующие преобразования данного уравнения дают значение выражения трения на стенке трубы в виде:
а обобщенный критерий Рейнольдса записывается так:
где n′ и к′ – реологические характеристики жидкости, определяемые экспериментальным путем;
d – диаметр трубы.
Аналогичный подход к решению задачи замечаем также у Р. Вельтманна, который предлагал число Рейнольдса как и для ньютоновской жидкости, а коэффициент сопротивления в области пластического течения определять по формуле:
где И – параметр Ильюшина;
с – отношение динамического напряжения сдвига к напряжению трения на стенке трубы.
в широких пределах.
Выражение (21) неудобно тем, что оно являет собой функцию, аргумент которой имеет показатель пластичности (например, Ильюшина), и это приводит к семейству кривых.
Принимая за основу уравнение Т. Кармана и упомянутое выше выражение для обобщенного критерия Рейнольдса, Д. Додж и А. Метцнер вывели обобщенную формулу для определения коэффициента гидравлических сопротивлений в турбулентном потоке жидкости:
Формула (22) рекомендуется для расчета λ при течении жидкостей, для которых справедлив степенной реологический закон, в том числе и для вязко-пластичных жидкостей. При n′ = 1 формула обращается в формулу Кармана для ньютоновских жидкостей. По аналогии с ньютоновскими жидкостями авторы принимают аппроксимацию λ для неньютоновских жидкостей в виде:
где а и b – функции параметра n′ (показателя поведения жидкости).
Такое выражение для коэффициента λ в турбулентной области принималось и другими авторами (Э.К. Латыповым и Б.С. Филатовым).
Исследуя критерии, характеризующие возникновение турбулентности для различных неньютоновских жидкостей, Б. Хедстрем в работе, опубликованной в 1952 г., представил графически коэффициент сопротивления как функцию критерия Рейнольдса и параметра Хедстрема (такой же параметр приводится в работе, опубликованной в 1963 г.), равного (τ0ρd2)/η, подсчитанного для условий ламинарного режима. Из исследования Б. Хедстрема вытекает, что критическое значение числа Рейнольдса растет с увеличением абсолютного значения динамического напряжения сдвига, что, как указывалось выше, подтверждено опытами Э. К. Латыпова и Б. С. Филатова.
Исследование гидравлических потерь вязко-пластичной жидкости при движении в трубах кольцевого сечения для буровой практики представляет несомненный практический интерес. Теоретическое решение этого вопроса для ламинарного режима течения ньютоновской жидкости было найдено Ж. Буссинеском и подробно рассмотрено Л. Лейбензоном. Упрощая дифференциальное уравнение течения вязко-пластичной жидкости, М.П. Волорович и А.М. Гуткин предложили формулу для расчета расхода жидкости при пластическом режиме течения, справедливую при ширине кольцевого зазора, меньшей, чем диаметр наружной трубы.
Е.М. Соловьевым было проведено экспериментальное исследование потерь давления в трубах кольцевого сечения при перекачке воды и глинистых растворов, в результате чего было рекомендовано при турбулентном режиме течения принимать λ = 0,014 ÷ 0,019, в зависимости от концентрации твердой фазы в растворе. Расчет потерь давления рекомендуется Е.М. Соловьевым вести по формуле Дарси–Вейсбаха, подставляя в нее эквивалентный диаметр, равный:
где a – внутренний радиус внешней трубы;
b – внешний радиус внутренней трубы.
Для пластического течения коэффициент гидравлического сопротивления λ определяется, как и для цилиндрической трубы, только в качестве обобщенного критерия Рейнольдса рекомендуется применять формулу:
Кроме того, пренебрегая размерами ядра потока при развитом пластическом течении, Е.М. Соловьев дал формулу для подсчета расхода.
Рядом авторов предполагалось подсчет потерь давления в кольцевом пространстве проводить по формулам для расчета потерь давления в трубах, заменяя диаметр трубы учетверенным гидравлическим радиусом кольцевого пространства. Экспериментальное исследование данного вопроса, проведенное Б.И. Мительманом в производственных условиях, привело к следующим результатам. Оказалось, что пластический режим течения имеет место до значения Re′ ≤ 1600. При этом:
где Re′ – обобщенный критерий Рейнольдса:
В формуле (27) D – внутренний диаметр наружных труб,
d – внешний диаметр внутренних труб.
Переход к турбулентному режиму происходит при
Re′ = 1600 ÷ 2000, и коэффициент сопротивления в турбулентной области равен:
Теоретическое решение задачи об осевом пластическом течении неньютоновской жидкости в кольцевом канале было рассмотрено также А. Фредериксоном и Р. Бердом. Для ускорения расчетов ими составлены графики, позволяющие рассчитывать расход жидкости при известном градиенте давления, размерах кольцевого пространства и свойствах жидкости.
Многими исследователями (В.В. Соколовский, Ф.А. Бахшиян, А.М. Кочетков и др.) рассматривались вопросы неустановившегося движения вязко-пластичной жидкости. Эта задача является сложной и относится к типу краевых задач с подвижной границей. Используя способ Н.А. Слезкина и С.М. Тарга, А.Х. Мирзаджанзаде дал приблизительное решение задачи неустановившегося прямолинейно-параллельного движения в круглой цилиндрической трубе.
В связи с определением реологических свойств вязко-пластичных жидкостей практический интерес представляет вопрос о неустановившемся круговом движении жидкости. Решение этой задачи было получено С.Г. Гурбановым; этому же вопросу посвящены работы Ф.А. Бахшияна, А. Финци и др. Полученные теоретические решения не проверены экспериментально. Учитывая сложность неустановившихся процессов, имеющиеся решения являются сложными и не могут считаться практически удобными для инженерных расчетов.
(Продолжение в №4, 2016 г.)
