В нефтегазовой промышленности – бурении наклонно-направленных и горизонтальных скважин, механизированной добыче нефти в осложненных условиях и мультифазных насосных технологиях – все большее распространение получают одновинтовые гидравлические машины (ОГМ) с циклоидальным профилем рабочих органов и планетарным движением ротора [1].
Рабочим органом (РО) этих машин является винтовой героторный механизм (ВГМ) – зубчатая косозубая пара внутреннего циклоидального зацепления, состоящая из \(z_2\)-заходного металлического ротора (винта) и \(z_1\)-заходного статора (обоймы с эластичной обкладкой). Между их винтовыми поверхностями образуются рабочие камеры (рис. 1). Центры ротора и статора смещены на расстояние эксцентриситета е, а числа зубьев (заходов) отличаются на единицу \(z_1–z_2=1\).
В настоящее время внимание к ОГМ и их статическим и динамическим характеристикам еще более повышается в связи с внедрением цифровых автоматизированных регулируемых приводов и распространением инновационных технологических процессов в бурении, добыче и транспортировке нефти, чувствительных к изменению режимов работы гидромеханического оборудования и требующих детального математического моделирования.
В этой связи пути дальнейшего совершенствования ОГМ и технологических процессов с их использованием связаны не только с конструктивной оптимизацией РО и других нагруженных узлов, подбором материалов и упрочнением рабочих поверхностей, повышением качества изготовления с использованием компьютеризированных обрабатывающих центров последнего поколения. Необходимо также учитывать динамические нагрузки при пуске и неравномерном вращении планетарно движущегося ротора, что происходит вследствие нарушения установившегося режима работы ОГМ при возмущающих и управляющих воздействиях в динамической системе, а в каких-то случаях (например, при мониторинге технологических параметров или управлении гидродинамическими процессами в скважине) не обойтись без информации о степени неравномерности вращения вала или расхода жидкости ОГМ.
При использовании ОГМ в качестве забойного двигателя (ВЗД) или насоса можно выделить следующие возможные случаи нарушения установившегося статического режима в процессе бурения или эксплуатации скважины:
- изменение (монотонное или скачкообразное) осевой нагрузки на долото или удельного момента горных пород в процессе разбуривания забоя;
- колебание момента сил сопротивления породоразрушающего инструмента вследствие его конструктивных особенностей или колебательных явлений в динамической системе;
- изменение расхода и давления жидкости вследствие регулирования частоты ходов бурового насоса, скорости приводного электродвигателя скважинного насоса, волновых процессов или принудительного регулирования давления в гидравлической линии;
- изменение показателей свойств бурового раствора или перекачиваемой жидкости (плотности, вязкости, газосодержания);
- изменение динамического уровня жидкости или давления на приеме скважинного насоса;
- развитие автоколебательных процессов в динамической системе с протяженными механическими и гидравлическими звеньями;
- внесение управляющих воздействий, направленных на изменение режима работы ОГМ или системы в целом.
Расчет динамических нагрузок любого механизма или его элемента, совершающего сложное движение (в рассматриваемом случае – планетарно движущегося ротора ВГМ), невозможен без определения инерционных параметров всех его звеньев (момента инерции при вращательном движении и массы при поступательном движении) и в конечном итоге нахождения приведенного момента инерции вращающихся и поступательно движущихся масс.
В теории ОГМ вопросы определения инерционных параметров до настоящего времени не получили адекватного отражения. При расчетах либо принимается, что приведенный момент инерции равен моменту инерции ротора относительно его собственной оси [2], либо предлагается методика определения приведенного момента инерции, основанная на неточном учете всех силовых факторов, возникающих при неравномерном движении ротора, и ошибочной трактовке теоремы о движении центра масс планетарного ротора [1]. Это приводит к существенно завышенному значению приведенного момента инерции и, как следствие, искажению динамических характеристик насосов и ВЗД даже в случае использования точных математических моделей исследуемых динамических систем ОГМ.
В настоящей работе предлагается уточненное выражение приведенного момента инерции ОГМ с учетом всей совокупности действующих кинематических и силовых факторов. При этом для окончательной проверки результата вывод искомого выражения производится двумя способами: 1) через дифференциальное уравнение радиальных сил и крутящих моментов; 2) исходя из закона сохранения кинетической энергии ротора.
Уравнение сил и моментов
Рассмотрим ВГМ с кинематическим отношением \(i=z_2:z_1\), статор которого неподвижно закреплен. В общем случае неравномерного движения ротор вращается с переменной абсолютной угловой скоростью \(?=d?/dt\) (соответствующей угловой скорости выходного вала), при этом ось ротора \(O_2\) (центр масс сечения) в переносном движении по заданной криволинейной траектории (окружности радиуса е) также совершает вращение с переменной угловой скоростью \(? = d?/dt\) в противоположном направлении (рис. 2).
Угловые перемещения и скорости абсолютного \((?, ?)\) и переносного \((?, ?)\) движения ротора ВГМ связаны соотношениями:
| \(? = -\dfrac{?}{z_2}; ? = -\dfrac{?}{z_2}\). | (1) |
При моделировании динамических процессов в ВГМ примем следующие допущения: 1) ротор – абсолютно твердое тело; 2) перерезывающая сила со стороны выходного вала и перекашивающий момент, возникающий вследствие распределения давления жидкости в камерах РО [1], не оказывают существенного влияния на характер радиальных сил; 3) межосевое расстояние \((a_w=O_1O_2)\) не изменяется вследствие упругой деформации эластичной обкладки статора и соответствует расчетному эксцентриситету циклоидального зацепления \((a_w=e=\mathrm{idem})\).
В двигательном режиме ВГМ на ротор, совершающий планетарное движение, в радиальном направлении (в поперечном сечении РО) действуют следующие силовые факторы (рис. 3):
- гидравлическая сила \(F_{_Г}\), приложенная в центре статора и создающая крутящий момент на роторе \(М = F_{_Г} · ez_1\);
- поперечная составляющая \(G\) силы тяжести ротора;
- силы реакции связи \(R\);
- момент сил сопротивления со стороны выходного вала \(M_c\).
Силы реакции связей в точках контакта ротора и статора с учетом предварительного натяга в паре распределены по линии контакта. В каждом поперечном сечении РО имеется \(z_1\) точек контакта профилей по их выступам и впадинам [1]. Нормальная реакция не создает ни крутящего момента, ни момента сил сопротивления. Силы трения создают на роторе момент сил вредного сопротивления (механических потерь).
Для исследования динамических режимов при переменных скоростях и нагрузках представим ВГМ в виде двух начальных окружностей (центроид), одна из которых 2, связанная с ротором, обкатывается без скольжения внутри другой 1, связанной со статором (рис. 4). Радиусы центроид статора и ротора, соответственно, составляют \(ez_1\) и \(ez_2\) [1].
При движении центроиды ротора сила реакции связи \(R\) в полюсе зацепления слагается (см. рис. 4) из нормальной реакции \(R_n\) и перпендикулярной к ней касательной силы трения \(R_?\), без которой качение центроиды было бы невозможным.
Полная сила реакции \(R=\sqrt{R_{n}^{2}+R_{\mathbf{\tau }\,}^{2}}\) отклонена от нормали на некоторый угол.
Заметим, что главная нормаль \(n\) проходит через три центра: центры сечений статора и ротора \((О_1, О_2)\) и мгновенный центр скоростей \(Р\) – точку касания центроид (полюс зацепления). Центр ротора совпадает с центром его масс.
Для простоты анализа пренебрегаем сопротивлением качению центроид, а это будет означать, что в рассматриваемой расчетной схеме механические потери в ВГМ учитываться не будут, и крутящий момент на валу будет равен индикаторному моменту на роторе \((М = F_Г·ez_1)\), возникающему под действием перепада давления в РО.
Если принять систему координат, связанную со статором, условно неподвижной (абсолютной), то основное уравнение движения ротора в инерционной системе отсчета представляется в виде:
| \(m\vec{a}=\sum{\overrightarrow{F}}\), | (2) |
где \(\sum{\overrightarrow{F}}\) – сумма сил, действующих на ротор; \(m\) – масса ротора; \(a\) – ускорение ротора относительно абсолютной системы координат \(ХO_1Y\).
Вектор полного ускорения центра ротора а можно разложить на две перпендикулярные проекции – касательную и нормальную [3]:
| \({{a}_{\mathbf{\tau }}}=\dfrac{d{{v}_{C}}}{dt}=e\dfrac{d\Omega }{dt}=-e{{z}_{2}}\dfrac{d\omega }{dt}\) | (3а) |
| \({{a}_{n}}=\dfrac{v_{C}^{2}}{e}=e{{\left( {{z}_{2}}\omega \right)}^{2}}\) | (3б) |
где \(v_C\) – линейная скорость поступательного (переносного) движения центра масс ротора, \({{v}_{C}}=\Omega e=-{{z}_{2}}e\omega \).
Тогда в проекциях на касательное и нормальное направления уравнение равновесия сил (2) можно записать в виде (см. рис. 4):
| \(ma_\tau =F_{_\Gamma} -R_{\tau} -G\cos\psi = F_{\text{ин ?}}\), | (4а) |
| \(m{{a}_{n}}={{R}_{n}}+G\sin \psi = F_{\text{ин n}}\) | (4б) |
где \(G\) – поперечная составляющая силы тяжести ротора, зависящая от угла отклонения корпуса от вертикали (зенитного угла \(?\)) и выталкивающей (архимедовой) силы, \(G=mgk_{A}\mathrm{sin}?\); \(k_А\) – коэффициент Архимеда; \(?\) – угол отклонения нормали от горизонтальной оси, определяющий изменение высоты центра ротора при его вращении внутри статора, \(?=|?|=z_{2}?\);
\(F_{\text{ин ?}}\), \(F_{\text{ин n}}\) – касательная и нормальная (центробежная) силы инерции ротора (даламберова типа, не совершающие работу), зависящие от массы ротора и, соответственно, от касательного и нормального ускорения центра масс.
Касательная сила инерции направлена противоположно касательному ускорению (т.е. в сторону убывания скорости центра масс), причем в динамическом процессе а? может изменять знак, а нормальная – в сторону полюса, поскольку величина \(а_n\) всегда положительна [3].
Касательная сила инерции является производной по времени от количества движения ротора \(mv_C\), которая равна геометрической сумме всех действующих внешних сил.
В частном случае равномерного (без ускорения) вращения ротора \((?,? \text{ – idem})\) касательная сила инерции \(F_{\text{ин ?}} = ma_?\) исчезает и на ротор действует только центробежная сила инерции \(F_{\text{ин n}} = ma_n\), обусловленная эксцентричным движением центра масс.
При составлении уравнения моментов используем теорему о движении центра масс \(C\), математическим выражением которой является дифференциальное уравнение плоскопараллельного движения твердого тела [3]:
| \({{J}_{C}}\dfrac{d\omega }{dt}=\sum mo{{m}_{C}}F_{k}^{e}\), | (5) |
где \(J_C\) – момент инерции ротора относительно оси, проходящей через центр масс (собственной оси ротора \(O_2\)); \(\sum{mom_CF^e_k}\) – сумма моментов внешних сил, действующих на ротор, включая реакции связей.
Для рассматриваемой расчетной схемы (см. рис. 4) дифференциальное уравнение (5) преобразуется к виду:
| \({{J}_{C}}\dfrac{d\omega}{dt}={{F}_{_\Gamma}}e+{{R}_{\tau }}e{{z}_{2}}-{{M}_c}\), | (6) |
Выразив касательную реакцию связи \(R_?\) из уравнения сил (4а), после подстановки ее в (6) получаем
| \({{J}_{C}}\dfrac{d\omega }{dt}=M-{{M}_{\mathbf{c}}}-G\cos \psi \cdot e{{z}_{2}}-{{F}_{\text{ин ?}}}\cdot e{{z}_{2}}\), | (6а) |
Полученное дифференциальное уравнение моментов в системе ротора ВГМ означает, что мгновенный инерционный момент вращения относительно подвижной оси ротора является векторной суммой моментов всех действующих сил (включая силу инерции) относительно полюса: крутящего момента \(М = F_{_Г} · ez_1\), момента сил сопротивления \(М_с\) на выходном валу, гравитационного момента \(М_G = G\cos ? · ez_2\) и инерционного момента поступательного движения \(М_\text{ИН ?} = F_\text{ИН ?} · ez_2\).
То есть теорему о движении центра масс можно записать в таком виде:
| \({{J}_{C}}\dfrac{d\omega }{dt}=\sum mo{{m}_{P}}F_{k}^{{}}\), | (5а) |
Подставим в (6а) выражение инерционной касательной силы и перенесем инерционный момент относительно полюса в левую часть уравнения, в результате будем иметь:
| \(\left( {{J}_{C}}+m{{e}^{2}}z_{2}^{2} \right)\dfrac{d\omega }{dt}=M-{{M}_{\mathbf{c}}}-mg{{k}_{A}}\sin \alpha \cdot \cos \psi \cdot e{{z}_{2}}\), | (6б) |
Таким образом, приведенный момент инерции планетарно движущегося ротора ВГМ (понимаем в данном случае под этим термином коэффициент при угловом ускорении ротора в уравнении моментов, произведение которых определяет динамический момент на роторе) можно представить как сумму двух составляющих, обусловленных вращательным и поступательным движением ротора и зависящих, соответственно, от момента инерции относительно собственной оси и массы ротора:
| \(J={{J}_{C}}+m{{e}^{2}}z_{2}^{2}\), | (7) |
В общем случае при наклонном расположении корпуса ВЗД имеются два фактора динамичности, обусловленные возможностью изменения момента нагрузки \((M_c)\) и знакопеременностью гравитационной составляющей момента сил относительно полюса \((M_G)\), связанной с гармоническим изменением высоты центра масс ротора при его вращении: \(? = \mathrm{f}(?)\).
Для большинства конструктивных схем и динамических режимов ОГМ влиянием гравитационной составляющей момента можно пренебречь, и тогда дифференциальное уравнение моментов при постоянстве приведенного момента инерции (\(J=\mathrm{idem}\) и не зависит от угла поворота ротора) принимает классический вид:
| \(J\dfrac{d\omega }{dt}=M-{{M}_c}\), | (6в) |
Для доказательства данного положения сравним величины крутящего и гравитационного момента при горизонтальном расположении корпуса (\(?\)=90°) для условий эксплуатации ВЗД диаметром 195 мм (\(z_2=9, e=4,9 мм, m=50 кг, М=3000 Н·м\)).
Максимальный гравитационный момент, соответствующий углу
\(?=0,
M_{Gmax} = mg·k_A·ez_2 = 50·9,81·0,85·0,0049·9 ? 20 \text{H·м}\)
получается на два порядка ниже крутящего момента ВЗД и не оказывает существенного влияния на динамические процессы при номинальных нагрузках.
Кинетическая энергия ротора
В этом случае приведенный к выходному валу приведенный момент инерции ротора определяется из условия сохранения кинетической энергии \(T\) вращающихся и поступательно движущихся масс:
| \(T={{J}_{C}}\dfrac{\omega _{{}}^{2}}{2}+m\dfrac{v_{C}^{2}}{2}=J\dfrac{\omega _{{}}^{2}}{2}\), | (8) |
В результате получаем выражение приведенного момента инерции, идентичное (7), найденное ранее из уравнений сил и моментов.
Формулы J для практических расчетов
Для оценки относительного вклада двух составляющих приведенного момента инерции выразим для данного кинематического отношения РО и эксцентриситета зацепления момент инерции ротора через его массу для общего случая полого ротора (рис. 5):
| \({{J}_{C}}=m\dfrac{r_{\mathbf{cp}}^{2}+r_{0}^{2}}{2}\), | (9) |
где \(r_{ср}\) – средний радиус винтовой поверхности ротора (радиус делительной окружности по выступам и впадинам зубьев), \(r_0\) – радиус отверстия (расточки ротора).
В результате формула приведенного момента инерции ротора получает следующий общий вид:
| \(J={{J}_{C}}\left[ 1+\dfrac{2}{1+{{\varepsilon }^{2}}}\cdot {{\left( \dfrac{e{{z}_{2}}}{{{r}_{cp}}} \right)}^{2}} \right]\), | (10) |
где \(? = r_0/r_{cp}\).
При расчете ВГМ или других планетарных механизмов можно выделить три частных случая, отличающихся конструктивным исполнением ротора, соотношением радиусов центроиды \((ez_2)\) и делительной окружности \((r_{cp})\) ротора:
– цельный цилиндрический ротор (\(?=0, r_{cp} = ez_2\))
\(J = 3J_C\);
– цельный винтовой ротор (\(?=0, r_{cp} ? ez_2)\);
\(J={{J}_{C}}\left[ 1+2\cdot {{\left( \dfrac{e{{z}_{2}}}{{{r}_{cp}}} \right)}^{2}} \right]\);
– полый цилиндрический ротор (\(??0, r_{cp} = ez_2\)).
\(J={{J}_{C}}\left[ 1+\dfrac{2}{1+{{\varepsilon }^{2}}} \right]\).
Таким образом, обе составляющие, обусловленные вращательным и поступательным (переносным) движением, вносят сопоставимый вклад в приведенный момент инерции ротора. При выбранном материале (плотности) ротора определяющее влияние на \(J\) оказывает масштабный фактор (средний диаметр ротора), в то время как кинематическое отношение (число зубьев ротора) при заданном диаметре РО существенного влияния не имеет, т.к. коэффициент \(r_{cp}/ez_2\) изменяется незначительно.
Для отечественных многозаходных ВЗД различных типоразмеров
\(r_{cp} = (1,2 – 1,5)ez_2; ? = 0,7 – 0,8\).
Это означает, что приведенный момент инерции ВГМ изменяется в следующих диапазонах:
\(J=\left( 1,5-1,8 \right){{J}_{C}}\) – для полых роторов;
\(J=\left( 1,9-2,4 \right){{J}_{C}}\) – для цельных роторов.
Итак, приведенный момент инерции планетарно движущегося ротора приблизительно равен удвоенному моменту инерции ротора относительно собственной оси:
| \(J\,\approx 2{{J}_{C}}\). | (11) |
Данное выражение, предполагающее равенство двух составляющих \((J_C = me^2z_2^2)\), можно рекомендовать для ориентировочных динамических расчетов ВЗД. При уточненных исследованиях необходимо учитывать геометрические параметры циклоидальных профилей и конструктивное исполнение ротора (цельный или полый, в том числе гидроштампованный).
Общие кинематические схемы ВГМ
Полученная формула приведенного момента инерции относится к традиционному частному случаю кинематической схемы РО ОГМ – механизму с неподвижным (закрепленным) статором и совершающим планетарное движение ротором.
Вместе с тем известны в теории и применяются на практике и другие, более общие кинематические схемы ВГМ, в которых оба элемента РО совершают движение (вращательное, переносное или планетарное). Кроме того, и для типовой схемы ВЗД, установленного на конце протяженной упругой бурильной колонны, вследствие крутильных колебаний при изменении осевой нагрузки или расхода жидкости режим планетарного механизма является идеализацией, что требует рассмотрения более общей кинематической схемы.
В дифференциальной схеме ВГМ с дополнительной подвижностью статора, в которой статор концентрично вращается относительно своей оси (что характерно для бурения ВЗД с вращением бурильной колонны), кинетическая энергия ротора становится зависимой от абсолютных угловых скоростей статора \(?_1\) и ротора \(?_2\):
| \(T={{J}_{C}}\dfrac{\omega _{2}^{2}}{2}+m\dfrac{{{\left( e\Omega \right)}^{2}}}{2}=J\frac{\omega _{2}^{2}}{2}\), | (12) |
где \(\Omega\) – абсолютная угловая скорость центра ротора в переносном движении, \(\Omega =-{{z}_{2}}{{\omega }_{2}}+{{z}_{1}}\omega {}_{1}\).
Тогда после несложных преобразований выражение приведенного момента инерции ротора, полученное из условия сохранения его кинетической энергии, приобретает следующий вид:
| \({{J={{J}_{C}}+m{{e}^{2}}\left( {{z}_{2}}-{{z}_{1}}\dfrac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}} \right)}^{2}}={{J}_{C}}+m{{e}^{2}}z_{2}^{2}{{\left( 1-u \right)}^{2}}\) | (13) |
где \(u\) – безразмерный кинематический параметр, зависящий от соотношения чисел зубьев и угловых скоростей статора и ротора:
\(u=\dfrac{{{z}_{1}}{{\omega }_{1}}}{{{z}_{2}}{{\omega }_{2}}}\)
Таким образом, в дифференциальной схеме приведенный момент инерции \(J\) зависит от отношения мгновенных угловых скоростей статора и ротора, поэтому при динамических процессах его нельзя рассматривать как постоянный геометрический параметр, что качественно изменяет характер протекания динамических процессов и усложняет расчеты \((J=\mathrm{var})\).
В данной схеме приведенный момент инерции \(J\) является коэффициентом при половине квадрата скорости ротора в выражении кинетической энергии, и его уже нельзя трактовать как коэффициент при ускорении в уравнении моментов.
Формула (13) представляет собой общее выражение приведенного момента инерции ротора дифференциального ВГМ, что позволяет провести классификацию частных случаев, в которых приведенный момент инерции становится независимым от времени (отношения мгновенных угловых скоростей ротора и статора):а) планетарный механизм \((?_1=0, u = 0, ? = – z_2?_2)\):
| \(J={{J}_{C}}+m{{e}^{2}}z_{2}^{2}\); | (13а) |
б) равенство угловых скоростей ротора и статора \((?_1 = ?_2)\), когда ротор заторможен в статоре (движение центра со скоростью \(? = ?_1)\):
| \(J={{J}_{C}}+m{{e}^{2}}\); | (13б) |
с) бироторный механизм, в котором ротор, как и статор, совершает концентричное вращение, и выполняется условие обратно пропорционального соотношения угловых скоростей и чисел зубьев ротора и статора \((u = 1; ? = 0)\):
| \(J={{J}_{C}}\). | (13в) |
Дифференциал кинетической энергии, характеризующий работу всех сил, действующих на ротор [3], в общем случае зависит от соотношения мгновенных угловых скоростей и ускорений статора и ротора:
| \(dT=\left( Jd{{\omega }_{2}}\,+\dfrac{{{\omega }_{2}}}{2}dJ \right){{\omega }_{2}}={{J}_{C}}{{\omega }_{2}}d{{\omega }_{2}}+m{{e}^{2}}\Omega \left( {{z}_{1}}d{{\omega }_{1}}-z{}_{2}d{{\omega }_{2}} \right)\). | (14) |
Для классификации режимов работы традиционного дифференциального механизма \((?_2?0)\) уравнение (14) целесообразно представить в виде
| \(dT=\left[ \left( {{J}_{C}}+m{{e}^{2}}z_{2}^{2}\left( 1-u \right) \right)\,d{{\omega }_{2}}-m{{e}^{2}}{{z}_{1}}{{z}_{2}}\left( 1-u \right)d{{\omega }_{1}} \right]\,{{\omega }_{2}}\). | (14а) |
Следует отметить, что безразмерный коэффициент кинематического подобия \(U=1-u=-\dfrac{\Omega }{{{z}_{2}}{{\omega }_{2}}}\), выражающий отношение угловых скоростей переносного движения в дифференциальной и планетарной схемах ВГМ, входит только в уравнение кинетической энергии ротора. При переходе к уравнению моментов дифференциального механизма, где отсутствуют скорости, коэффициент \(U\) сокращается, а в планетарной схеме – по определению \(U=1\).
Система уравнений моментов статора и ротора дифференциального механизма (по Лагранжу или с помощью теоремы об изменении кинетической энергии) приводится к виду:
| \({{k}_{ИН1}}\dfrac{d{{\omega }_{1}}}{dt}-{{k}_{ИН12}}\dfrac{d{{\omega }_{2}}}{dt}=-M+{{M}_{\mathbf{c}1}}\) \({{k}_{ИН2}}\dfrac{d{{\omega }_{2}}}{dt}-k_{ИН12}^{{}}\frac{d{{\omega }_{1}}}{dt}=M-{{M}_{\mathbf{c}2}}\) | (15) |
где \(M_{c1}\) – момент сил на статоре (в сечении КНБК выше ВЗД); \(M_{c2} = M_c\).
Инерционные коэффициенты при ускорении статора и ротора
\({{k}_{ИН1}}={{J}_{1}}+m{{e}^{2}}z_{1}^{2};\,\,\,{{k}_{ИН2}}={{J}_{2}}+m{{e}^{2}}z_{2}^{2};\,\,\,{{k}_{ИН12}}=m{{e}^{2}}{{z}_{1}}{{z}_{2}}\)
в левой части системы уравнений моментов можно рассматривать как «эквивалентные» моменты инерции дифференциального механизма, неизменные во времени (\(J_1\) – момент инерции статора и связанных с ним вращающихся со скоростью \(?_1\) масс; \(J_2 = J_С\)).
Kоэффициенты \(k_{ИН1}, k_{ИН2}\) с учетом кратности действия ВГМ \((z_1; z_2)\) численно равны приведенному моменту инерции, соответственно, статора и ротора планетарного механизма (при \(?_1=0\) или \(?_2=0)\).
Коэффициент \(k_{ИН12}\) характеризует взаимное «перекрестное» влияние неравномерного вращения ротора на статор, и обратно, знак минус для вторых членов левой части уравнений свидетельствует о снижении инерционного момента в случае ускоренного движения обоих элементов РО.
Обратим внимание на такой интересный факт: несмотря на различный характер движения статора и ротора (концентричное и планетарное), структура уравнений их моментов и инерционных коэффициентов подобна, что подчеркивает обратимость и вариативность кинематических схем дифференциального механизма, а также то, что динамические моменты статора и ротора зависят от двух ускорений.
При моделировании динамического процесса можно также использовать расчетный алгоритм, основанный на известном уравнении вращательного движения при переменном приведенном моменте инерции ротора \(J = f(?_1/?_2)\) с учетом поправки на подвижность статора:
| \(J\dfrac{d{{\omega }_{2}}}{dt}+\dfrac{{{\omega }_{2}}}{2}\dfrac{dJ}{dt}=M-{{M}_{\mathbf{c}}}-u\,{{M}_{\mathbf{}\,\tau }}\) | (16) |
Реактивный момент
Взаимосвязь момента на статоре \(M_{c1}\) (реактивного момента ВЗД) и момента сил сопротивления на выходном валу \(M_{c2}\) (момента на долоте, зависящего от скорости \(?_2\) и осевой нагрузки) в динамическом режиме в соответствии с (15) зависит от ускорений и инерционных параметров РО:
| \(\begin{align} & {{M}_{\mathbf{c}1}}={{M}_{\mathbf{c}2}}+\left( {{k}_{ИН1\,}}-{{k}_{ИН12}} \right)\dfrac{d{{\omega }_{1}}}{dt}+\left( {{k}_{ИН2\,}}-{{k}_{ИН12}} \right)\dfrac{d{{\omega }_{2}}}{dt}= \\ & ={{M}_{\mathbf{c}2}}+\left( {{J}_{1}}+m{{e}^{2}}{{z}_{1}} \right)\dfrac{d{{\omega }_{1}}}{dt}+\left( {{J}_{2}}-m{{e}^{2}}{{z}_{2}} \right)\dfrac{d{{\omega }_{2}}}{dt} \\ \end{align}\) | (17) |
В зависимости от развивающегося процесса крутильных колебаний системы мгновенный реактивный момент ВЗД, определяющий угол закручивания нижнего сечения бурильной колонны, может быть как больше, так и меньше момента на долоте и только в статическом режиме \(М_{с1}=М_{с2}\), что практически труднодостижимо в ходе бурения.
В общем случае в зависимости от конструктивной схемы и режима работы ВГМ момент на статоре может представлять собой упругий момент кручения в нижнем сечении колонны бурильных или насосно-компрессорных труб (ВЗД; скважинный насос) или опорный момент (наземный насос; скважинный насос с заякоренным статором, для которых \(?_1=0\)).
Безразмерный вид системы дифференциальных уравнений
С целью всестороннего анализа динамических свойств ВГМ, установления критериев подобия и инерционных постоянных времени, исследования переходных и частотных характеристик, устойчивости движения преобразуем систему дифференциальных уравнений (15) к безразмерному (относительному) виду, приняв в качестве базовых параметров среднецикловые или стационарные (начальные) значения переменных процесса \((?_{1ср}; ?_{2ср}; М_{ср})\):
| \(\left( {{{\bar{J}}}_{1}}+1 \right){{u}_{\mathbf{}}}\dfrac{d{{{\bar{\omega }}}_{1}}}{dt}\,\,-\,\,\dfrac{d{{{\bar{\omega }}}_{2}}}{dt}=-\dfrac{\bar{M}-{{{\bar{M}}}_{\mathbf{c}1}}}{\tau }\left( {{{\bar{J}}}_{2}}+1 \right)\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}}\) | (15а) |
\(\dfrac{d{{{\bar{\omega }}}_{2}}}{dt}\,\,-\,\,\dfrac{{{u}_{\mathbf{}}}}{{{{\bar{J}}}_{2}}+1}\cdot \dfrac{d{{{\bar{\omega }}}_{1}}}{dt}=\dfrac{\bar{M}-{{{\bar{M}}}_{\mathbf{c}2}}}{\tau }\),
где
\({{\bar{\omega }}_{1}}=\dfrac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{1\mathbf{}}}};\,\,{{\bar{\omega }}_{2}}=\dfrac{{{\omega }_{2}}}{{{\omega }_{2\mathbf{}}}};\,\,\bar{M}=\dfrac{M}{{{M}_{\mathbf{}}}};\,\,{{\bar{M}}_{\mathbf{}1}}=\dfrac{{{M}_{\mathbf{1}}}}{{{M}_{\mathbf{}}}};\,\,{{\bar{M}}_{\mathbf{}2}}=\dfrac{{{M}_{\mathbf{2}}}}{{{M}_{\mathbf{}}}}\)
Из (15а) следует, что характер динамических процессов в ВГМ (изменение во времени функций \(\bar{\omega}_1;\bar{\omega}_2;\bar{M})\) зависит от трех безразмерных критериев подобия и инерционной постоянной времени ротора \(?\).
Критериями подобия ВГМ являются:
– безразмерный кинематический параметр стационарного процесса
\({{u}_{\mathbf{}}}=\dfrac{{{z}_{1}}{{\omega }_{1}}_{\mathbf{}}}{{{z}_{2}}{{\omega }_{2}}_{\mathbf{}}}\)
– относительные моменты инерции статора и ротора, выражающие соотношение составляющих вращательного и поступательного движения планетарного механизма:
\({{\bar{J}}_{1}}={{J}_{1}}/m{{e}^{2}}z_{1}^{2}\); \({{\bar{J}}_{2}}={{J}_{2}}/m{{e}^{2}}z_{2}^{2}\); (для ВЗД \(\bar{J}_2 \approx 1\)).
Инерционная механическая постоянная времени ротора
\(\tau =\dfrac{{{k}_{\mathbf{ИН}2}}{{\omega }_{2\mathbf{ср}}}}{{{M}_{\mathbf{ср}}}}\),
зависящая от эквивалентного момента инерции ротора \((k_{ИН2}=\mathrm{idem})\) и нагрузочно-скоростного фактора \((M_{cp}/?_{2ср}=\mathrm{var})\), определяет продолжительность и траекторию переходных процессов при ступенчатом изменении нагрузки или регулировании (быстродействие, перерегулирование, колебательность, степень затухания), а также амплитудно-фазовые характеристики системы при гармоническом воздействии.
Инерционная постоянная времени ВГМ заданного типоразмера существенно зависит от скорости и нагрузки. Для ВЗД в габарите 195 мм \((z_2=9, e=4,9 мм, m = 50 кг, k_{ИН2} ? 2me^2z_2^2 = 0,2 кг·м^2)\) постоянная времени ротора в номинальном режиме \((n=2с^{–1}, M=3000 Н·м)\) имеет порядок \(10{–3} с\):
\(\tau =2m{{e}^{2}}z_{2}^{2}\cdot \dfrac{2\pi {{n}_{2\mathbf{ср}}}}{{{M}_{\mathbf{ср}}}}=0,2\cdot \dfrac{2\cdot \pi \cdot 2}{3000}=0,8\cdot {{10}^{-3}}\,\mathbf{с}\)
Классификация инерционных параметров и энергетических режимов ВГМ
В общем случае механизма с двумя степенями свободы приведенный момент инерции J полностью характеризует кинетическую энергию ротора, а эквивалентные моменты инерции \((k_{ИН1}; k_{ИН2}; k_{ИН12})\) служат для определения динамических составляющих крутящего момента при неравномерном вращении ротора или статора. Для механизма с одной степенью свободы \((?_1=0)\) приведенный и эквивалентный моменты инерции ротора становятся идентичными параметрами.
Возможные частные случаи энергетического режима ротора дифференциального ВГМ:
– равномерное вращение статора \((d?_1=0; d?_2?0)\):
| \(dT=\left[ {{J}_{C}}+m{{e}^{2}}z_{2}^{2}U \right]\,{{\omega }_{2}}d{{\omega }_{2}}\). | (18а) |
– равномерное вращение ротора \((d?_2=0; d?_1?0)\):
| \(dT=\left[ -m{{e}^{2}}{{z}_{1}}{{z}_{2}}U \right]\,{{\omega }_{2}}d{{\omega }_{1}}\). | (18б) |
– равенство ускорений статора и ротора \((d?_1=d?_2; ?_1??_2)\):
| \(dT=\left[ {{J}_{C}}-m{{e}^{2}}{{z}_{2}}U \right]\,{{\omega }_{2}}d{{\omega }_{2}}\). | (18в) |
– равенство скоростей и ускорений статора и ротора \((?_1=?_2; d?_1=d?_2)\):
| \(dT=\left( {{J}_{C}}+m{{e}^{2}} \right)\,{{\omega }_{2}}d{{\omega }_{2}}\); \(U=-1/{{z}_{2}}\); \(J={{J}_{C}}+m{{e}^{2}}\). | (18г) |
– остановка статора \((?_1=0; d?_1=0)\):
| \(dT=\left( {{J}_{C}}+m{{e}^{2}}z_{2}^{2} \right)\,{{\omega }_{2}}d{{\omega }_{2}}\); \(U=1\); \(J={{J}_{C}}+m{{e}^{2}}z_{2}^{2}\). | (18д) |
– остановка ротора \((?_2=0; d?_2=0)\):
| \(dT=m{{e}^{2}}z_{1}^{2}\,{{\omega }_{1}}d{{\omega }_{1}}\). | (18е) |
В последнем, особом случае, который может иметь место при комбинированном способе бурения ВЗД с вращением колонны, понятие приведенного момента инерции утрачивает свой смысл, т. к. неподвижный выходной вал, шарнирно связанный с нутирующим ротором, не обладает кинетической энергией и не испытывает инерционных нагрузок.
Представленная методика определения и классификации инерционных параметров, являющаяся развитием теории рабочего процесса ОГМ, может быть использована при расчетах и математическом моделировании одновинтовых гидромоторов и насосов, а также планетарно-роторных гидромашин, компрессоров, двигателей внутреннего сгорания (ДВС) и механических передач с циклоидальным зацеплением РО. Предложенная терминология и установленные выражения приведенного и эквивалентных моментов инерции позволяют решать различные теоретические и прикладные задачи динамических систем буровых и нефтепромысловых объектов, в состав которых входит ВГМ.
