Погружная центробежная установка для добычи нефти (УЭЦН) представляет собой многосекционную конструкцию. Передача вращения между валами модулей-секций осуществляется шлицевыми соединениями. Нами [1] была предложена методика расчета прочности этих соединений при статических напряжениях, когда разрушение осуществляется по механизмам пластического деформирования. Однако, согласно эксплуатационным данным, в половине случаев разрушение шлицевых соединений происходит по усталостному механизму, т. е. при переменных напряжениях, которые возникают из-за несоосности валов, абразивного подклинивания и др. Кроме того, динамические нагрузки действуют на вал при пуске УЭЦН, потому что пусковой момент двигателя больше номинального и нагрузка на вал прикладывается за короткий промежуток времени. Изменение нагрузки вызывает крутильные колебания в теле вала, что приводит к увеличению напряжений по сравнению с напряжениями при статическом нагружении.
В статье предложено решение задачи усталостной прочности шлицевых валов и прочности вала при пуске УЭЦН.
Усталостная прочность шлицев
При кручении изогнутого вала в основании шлицев возникают трехосные циклические напряжения. Это сложнонапряженное состояние характеризуется эквивалентными напряжениями по Мизесу [2], которые зависят от времени следующим образом:σ(t) = σm + σaƒ(t), (1)
где σm – среднее эквивалентное напряжение цикла, σa– амплитудное значение эквивалентного напряжения цикла, f(t) – периодическая функция, определяющая форму цикла во времени и изменяющаяся в пределах от -1 до +1.
Испытания на усталостную прочность материалов валов обычно проводят при симметричном цикле нагружения (σm =0). Полученные результаты представляют в виде кривой Велера, т. е. зависимости амплитудных значений напряжений от числа циклов до разрушения (рис 1). Напряжение σ-1, при котором материал может выдержать неограниченное количество циклов, не разрушаясь, называется пределом выносливости материала при симметричном цикле нагружения. Однако циклические напряжения в шлицах при кручении изогнутого вала являются несимметричными, потому что на постоянно действующие изгибающие напряжения в шлицах под действием крутящего момента накладываются циклические напряжения растяжения-сжатия от изгиба вала.
Существует ряд эмпирических зависимостей [3], описывающих связь критических амплитудных значений напряжений симметричного цикла σ-1 и напряжений несимметричного цикла σa*:
1. Условие Гудмана
σa* = σ-1(1 - σm / σB), (2)
2. Условие Гербера
σa* = σ-1(1 - [σm / σB]2), (3)
3. Условие Зодерберга
σa* = σ-1(1 - [σm / σ0.2]2), (4)
где σB – предел прочности материала; σ0.2 – предел текучести материала.
Используем эти зависимости для нахождения критического напряжения несимметричного цикла σa* для вала насоса ВНН5А-100, эксплуатируемого в типичных условиях: напор 2500 м, подача 100 м3/сут, КПД = 60%. Пусть вал насоса имеет диаметр D=20 мм и изготовлен из стали ХМ-12 с σ0.2 =1080 МПа, σB =1180 МПа, σ-1 = 690 МПа. Обычно конец вала выступает из концевого подшипника на l =200 мм.
Расчет согласно [1] дает σm= 840 МПа. Из (2) – (4) следует, что σa* равно 200÷340 МПа. Напряжения, возникающие в шлицевом соединении из-за несоосности Δу двух валов, выступающих из концевых подшипников на длину l, не должны превышать напряжений σa*.
Обозначим через ζ изгиб конца вала: ζ =Δу/2 и вычислим его, используя модель консольной балки под действием приложенной к концу силы, вызывающей напряжения σa* [4]:
(5) где Е – модуль упругости материала. Из (5) следует, что напряжения σa*=200 МПа возникнут при несоосности валов Δу = 2.6 мм, а 340 МПа – при Δу = 4.4 мм. Также из (5) следует, что допустимая несоосность валов Δу уменьшается при увеличении диаметра вала.
Напряжения в шлицах при пуске УЭЦН
При пуске УЭЦН вдоль вала насоса распространяется волна кручения. Когда она достигнет конца вала (в вале длиной 6 м это случится примерно через 0,005 секунд), вал будет двигаться как целое в соответствии со следующим уравнением:
(6) где φ – угол закрутки вала; K(t)=A0(1-e-αt) – аппроксимация зависимости крутящего момента двигателя от времени t при пуске для малых t (t ≤ 0.2 c); KЭЦН(t) – момент сил, необходимый для вращения ЭЦН; J=JB + z•JK – момент инерции ротора ЭЦН (вал с рабочими колесами насосных ступеней), JB=0.5•mB•RB2 – момент инерции вала массой mB и радиусом RB, JK – момент инерции рабочего колеса, z – число колес.
Поскольку КЭЦН = NЭЦН / ω, где NЭЦН (ω) – мощность, потребляемая ЭЦН, ω = dφ/dt – циклическая частота, то в соответствии с теорией подобия для насосов [5] NЭЦН=const•ω3=N0•(ω3/ω03), тогда:
(7) Используя (7), перепишем уравнение (6) в следующем виде:
(8)
Уравнение (8) является уравнением Риккати [6]. Его решение нельзя выразить через элементарные функции, поэтому уравнение решали численно. В качестве примера взяли насос ВНН5А-159: предела текучести материала вала σ0.2 =1570 МПа, RB=10 мм, mB=13.6 кг, z=186, JK=1.42•10-4 кг · м2. В качестве N0 взяли предельно передаваемую мощность вала при вращении с постоянной угловой скоростью ω0=2πf0, где f0=50 Гц, определенную из расчета на статическую прочность шлицев [1]: N0=170 кВт. Считали, что развиваемый при пуске момент сил в 3 раза больше момента K0=N0/ω0 и достигается за 0,2 секунды (α=15). На рис. 2 представлены полученные зависимости ω и dω/dt.
Рис. 1. Кривая Велера стали ХМ-12 категории прочности Т11
Рис. 2. Зависимость угловой скорости (а) и углового ускорения (б) от времени
Рассчитаем момент Kt=0.01=J•dω/dt|t-0.01, характеризующий максимальные напряжения в шлицевом соединении при пуске, для материалов с различными σ0.2, а значит, с различными предельно передаваемыми мощностями (табл. 1).
Табл. 1. Предельно передаваемые мощности шлицевого вала N0, соответствующие им моменты K0 и моменты, возникающие при пуске ПЭ Kt=0.01
Напряжения в шлицах при расклинивании УЭЦН
При расклинивании УЭЦН, когда один торец вала закреплен, возникают крутильные колебания, которые описываются следующим дифференциальным уравнением [7]:
(9) где C=0.5μπR4 – крутильная жесткость; l – длина вала; K(t)=A0(1-e-αt) – приложенный момент сил.
Начальные условия:
(10) где Ќ(0)=A0•α – скорость приложения крутящего момента при t=0.
Обозначив ω02=C/(J•l), тогда решение задачи (9) – (10) имеет следующий вид:
(11) Зависимость угла скручивания вала от времени для ВНН5А-159, вычисленная согласно (11) при тех же значениях констант, как в предыдущем расчете, приведена на рис. 3.
Рис. 3. Зависимость угла поворота вала &fi; от времени
Выводы
Предложена модель усталостного разрушения шлицевого соединения из-за изгибных напряжений, вызванных несоосностью валов, и оценена предельная величина несоосности, не приводящая к отказу.Показано, что динамические напряжения в шлицах при пуске не заклинившего насоса меньше на 30 – 80%, чем предельно допустимые при статическом нагружении. А при пуске заклинившего – примерно на 40% больше.
